Parte I · una epidemia y un circuito que oscila solo
El modelo SIR, con la epidemia de gripe de un internado inglés (1978) como dato, y el oscilador de van der Pol: umbrales, equilibrios, ciclos límite y bifurcaciones.
Las notas
Un curso de un cuatrimestre en tres partes: dinámica no lineal (ecuaciones diferenciales ordinarias como modelos: equilibrios, estabilidad, ciclos límite, bifurcaciones), análisis de Fourier (series, transformada, DFT y sus aplicaciones al análisis de señales) y ecuaciones en derivadas parciales (difusión, Laplace y ondas, con el énfasis puesto en la convergencia al equilibrio). El objetivo es que quien lo termine pueda tomar un problema concreto, decidir si conviene modelarlo con ecuaciones diferenciales, construir el modelo, analizarlo y volver al problema con respuestas. Cada parte se organiza alrededor de uno o dos problemas conductores, planteados al comienzo y retomados cada vez que la teoría permite decir algo nuevo; los laboratorios los llevan hasta los datos.
Parte II · una señal de temperatura
Tres años de temperatura horaria en Buenos Aires: qué frecuencias contiene, cómo separar los ciclos del ruido, qué se pierde al submuestrear y cuánto se puede comprimir.
Parte III · el suelo y la cuerda
La temperatura del suelo a varias profundidades (difusión con forzado periódico) y la cuerda de una guitarra (modos normales, espectro real, inarmonicidad).
Capítulos
Parte I · Dinámica no lineal
Capítulo 1
Introducción
Del problema al modelo: ¿cuándo alcanza una EDO? Los dos problemas conductores: la epidemia (SIR) y el circuito de van der Pol.
Capítulo 2
Capítulo 3
Capítulo 4
Capítulo 5
Capítulo 6
Capítulo 7
Capítulo 8
Capítulo 9
Ejercicios de la Parte I
Ejercicios teóricos (con las series guiadas sobre los problemas conductores) y ejercicios de laboratorio.
Parte II · Análisis de Fourier
Capítulo 10
Capítulo 11
Capítulo 12
Capítulo 13
Capítulo 14
Capítulo 15
Capítulo 16
Parte III · Ecuaciones en derivadas parciales
Capítulo 17
Capítulo 18
Capítulo 19
Capítulo 20
Capítulo 21
Notebooks del texto
Once notebooks de Python, uno por capítulo o par de capítulos, que reproducen las figuras de las notas (salvo unos pocos esquemas dibujados a mano y algunas figuras que salen de los scripts tools/fig_*.py) y permiten cambiar los parámetros de cada modelo. No requieren instalar nada: el botón abre una copia en Google Colab (hace falta una cuenta de Google para ejecutarla) y la primera celda instala el módulo imc del repositorio. Cada uno termina con una sección para experimentar.
Modelos poblacionales
Logística y recta de fase, Lotka–Volterra con nulclinas, el modelo de bacterias y su ciclo, el SIR en el plano (s, i).
Sistemas mecánicos y eléctricos
Oscilador armónico, fricción, péndulo, la corriente del circuito de van der Pol y su energía no monótona.
Sistemas lineales y Hartman–Grobman
Los retratos lineales (silla, nodo, foco, centro), el plano traza–determinante, linealización de los modelos poblacionales.
Lyapunov y dinámica global
Energía del péndulo, funciones de Lyapunov, van der Pol, Poincaré–Bendixson, competencia entre especies, Lorenz.
Bifurcaciones
Silla-nodo, transcrítica, horquilla, un ejemplo en el plano, Hopf genérica contra van der Pol, el SIR con nacimientos.
Series de Fourier y convergencia
Sumas parciales, núcleo de Dirichlet, decaimiento de los coeficientes, Gibbs, la serie de Fourier de la temperatura.
Transformada, DFT y FFT
Transformadas clásicas, la matriz de Fourier, aliasing, la grilla de frecuencias, Cooley–Tukey y su costo, la temperatura submuestreada.
Filtrado y compresión
Filtro por umbral, la temperatura regular y su residuo, compresión de la serie y de una imagen.
La ecuación de difusión
Paseo al azar, calor en un intervalo y en el cuadrado, tasa de decaimiento, la solución periódica del suelo y el ajuste de la difusividad.
Laplace y Poisson
Superficies mínimas, el juego aleatorio y Monte Carlo, valor medio, principio del máximo, solución fundamental, series en el rectángulo.
La ecuación de ondas
Catálogo de ondas, modos de la cuerda, energía, d'Alembert, dominios de dependencia, reflexión de un pulso.
Laboratorios
Ocho laboratorios, uno por problema conductor y uno por cada bloque de métodos numéricos (que se explican acá y no en las notas). Cada uno viene en dos versiones generadas por el mismo script: la de estudiantes, con la explicación de los métodos, las consignas, esqueletos con # TODO y celdas de verificación, y la guía del docente, con las soluciones completas ejecutadas y respuestas modelo. Todos terminan con preguntas de interpretación escrita, que es lo que se evalúa. Cada uno está pensado para una sesión de laboratorio de cuatro horas (los más largos, para dos).
Resolución numérica de EDOs
Euler desde cero, orden de convergencia, estabilidad y rigidez, Runge–Kutta, sistemas y energía, eventos con solve_ivp, SIR y SEIR; opcional: un termostato con histéresis.
Ajuste del modelo SIR a datos
La gripe del internado de 1978: mínimos cuadrados, identificabilidad, validación con media serie, SEIR, vacunación y aislamiento; opcional: la logística y la población de varios países.
La forma de onda del circuito
Régimen permanente, período y amplitud con eventos, espectro, y el problema inverso: estimar λ a partir de un registro con ruido.
La señal de temperatura
Espectro de datos reales, ventanas, amplitud y fase de los ciclos, aliasing, filtrado y promedios móviles, compresión, espectrograma.
Diferencias finitas para EDPs
Matrices de diferenciación, Poisson 1D, capa límite, Neumann, calor explícito e implícito (r ≤ 1/2), leapfrog y CFL.
La temperatura del suelo
Amplitud y fase por capa, cuatro estimaciones de la difusividad, simulación con la superficie como borde, residuos, la cañería.
El espectro de una cuerda real
Fundamental y armónicos de una grabación, inarmonicidad por rigidez, decaimiento por armónico, timbre, simulación con leapfrog y fricción.
Laplace en 2D e inpainting
Cinco puntos contra Monte Carlo, costo y error, métodos iterativos, el juego con fuente, rellenar regiones de una imagen.
Datos
Los notebooks descargan los datos solos desde el repositorio (datos.obtener("archivo")). Fuentes y licencias:
| Archivo | Contenido | Fuente y licencia |
|---|---|---|
gripe_internado_1978.csv | Alumnos en cama por día durante una epidemia de gripe en un internado inglés (763 alumnos, 14 días). | Anónimo, Influenza in a boarding school, BMJ, 1978; reproducido en Murray, Mathematical Biology I. |
temperatura_horaria.csv | Temperatura del aire cada hora, 2021–2023, en el punto de Aeroparque (Buenos Aires). | Reanálisis ERA5 vía Open-Meteo, CC BY 4.0 (Copernicus). Reanálisis, no medición directa. |
suelo_horaria.csv | Temperatura del aire y del suelo en cuatro capas (0–7, 7–28, 28–100, 100–255 cm), 2023, mismo punto. | Reanálisis ERA5-Land vía Open-Meteo, CC BY 4.0. Promedios por capa. |
cuerda_guitarra.wav | Cuerda de guitarra (Sol) pulsada, 6 segundos, mono 44,1 kHz. | Freesound, sonido 8403 de speedy, CC0. |
vanderpol_registro.csv | Corriente simulada con ruido de un circuito de van der Pol con λ desconocido. | Propia (generada por el laboratorio), CC BY 4.0. |
poblacion_banco_mundial.csv | Población total de Argentina, Nigeria, Japón, Corea del Sur, China y el mundo, 1960–2021. | Banco Mundial, World Development Indicators (SP.POP.TOTL), CC BY 4.0. |
astronauta.png | Imagen en escala de grises para el ejemplo de compresión y el inpainting. | NASA, dominio público (distribuida con scikit-image). |
Cómo usar el material
Para estudiar por cuenta propia, el orden natural es el de los capítulos: leer el capítulo, correr el notebook del texto cambiando parámetros, hacer los ejercicios teóricos (están al final de cada parte, con la misma numeración que en las notas) y, cuando toque, el laboratorio correspondiente. Los notebooks del texto son cortos y sirven para ver: reproducen cada figura de las notas desde una celda marcada con su nombre. Los laboratorios son para hacer: traen la explicación de lo que hace falta, consignas con lo que se espera y celdas para completar; la guía del docente tiene las soluciones. Todo el código común vive en el módulo imc del repositorio (retratos de fase, espectros, esquemas numéricos, acceso a los datos), que se instala solo en Colab.
Correcciones y sugerencias: abrir un issue o un pull request en el repositorio, o escribir a jfbonder@dm.uba.ar.