Capítulo 1
Introducción
El problema de Monge y su relajación de Kantorovich: mapas y planes de transporte, el caso discreto (asignación y matrices biestocásticas), el push-forward y la formulación en espacios de medida.
Las notas
Un curso de un cuatrimestre sobre transporte óptimo, desde el problema de Monge y la relajación de Kantorovich hasta el teorema de Brenier, las distancias de Wasserstein, los baricentros y el transporte entrópico. Están pensadas para estudiantes avanzados de licenciatura y de doctorado en matemática; se asume análisis real y algo de teoría de la medida (repasada en el Apéndice A). Cada capítulo termina con una sección de ejercicios; seis capítulos (2, 6, 8, 10, 12 y 13) incluyen además ejercicios computacionales, que se resuelven con los cuadernos de más abajo.
Capítulos
Capítulo 2
Existencia de planes óptimos
Convergencia débil de medidas, compacidad de los planes (Prokhorov) y existencia de planes óptimos para costos semicontinuos inferiormente.
Capítulo 3
Un breve repaso de dualidad en Programación Lineal
Lo esencial de la dualidad en programación lineal: dual, dualidad débil y fuerte, holgura complementaria.
Capítulo 4
Dualidad
El problema dual de Kantorovich, dualidad débil y la demostración de la dualidad fuerte vía Fenchel–Rockafellar.
Capítulo 5
Potenciales de Kantorovich en el caso discreto
Potenciales de Kantorovich en el caso discreto: existencia, relación con el soporte de los planes óptimos y ejemplos con potenciales no únicos.
Capítulo 6
Potenciales de Kantorovich
La c-transformada, existencia de potenciales de Kantorovich, caracterización del soporte de los planes óptimos y el costo cuadrático vía Legendre.
Capítulo 7
Capítulo 8
Transporte óptimo en dimensión uno
Función de distribución y pseudoinversa, el mapa monótono, c-monotonía cíclica y optimalidad del plan monótono para costos convexos; fórmula del costo óptimo.
Capítulo 9
Capítulo 10
Distancias de Wasserstein
Las distancias Wp en 𝒫p: desigualdad triangular vía pegado, metrización de la convergencia débil, Kantorovich–Rubinstein y geodésicas.
Capítulo 11
Capítulo 12
Baricentros de Wasserstein
Baricentros de Wasserstein: existencia, convexidad y unicidad, criterio de optimalidad, formulación multimarginal y los casos explícitos (dimensión uno, gaussianas).
Capítulo 13
Transporte entrópico y el algoritmo de Sinkhorn
Regularización entrópica, dualidad entrópica, el algoritmo de Sinkhorn y su convergencia, límites en ε y baricentros entrópicos.
Apéndice A
Apéndice B
Apéndice C
Apéndice D
Cuadernos de cómputo
Seis cuadernos de Python que acompañan las notas, con la biblioteca POT. No requieren instalar nada: el botón abre una copia en Google Colab (hace falta una cuenta de Google para ejecutarla). Cada cuaderno termina con los ejercicios computacionales del capítulo correspondiente.
Monge y Kantorovich
Planes discretos con POT, mapas y planes en dimensión uno, asignación y Birkhoff, costos cóncavos, convergencia débil de planes.
Dualidad
Duales con linprog, potenciales de Kantorovich, holgura complementaria, mejora de potenciales, costo 0–1.
OT en dimensión uno
Pseudoinversas, el mapa monótono, planes con átomos, fórmula del costo óptimo, plan antimonótono.
Distancias de Wasserstein
Wp entre muestras, comparación entre exponentes, geodésicas e interpolación, Kantorovich–Rubinstein.
Baricentros de Wasserstein
Baricentros en dimensión uno, de gaussianas y de medidas discretas; formulación multimarginal.
Transporte entrópico y Sinkhorn
Planes entrópicos, Sinkhorn en versión escalada y en el dominio logarítmico, límites en ε, baricentros entrópicos de formas.
Material extra
Notas autocontenidas escritas para alguna clase en particular, sobre temas que las notas usan pero no desarrollan. No forman parte del programa ni tienen guía propia; se leen sueltas, cuando hacen falta.
Introducción a las geodésicas en espacios métricos
Longitud de curvas, espacios de longitud, reparametrización por longitud de arco y el teorema de Hopf–Rinow, con dos ejemplos sin compacidad local. Es el trasfondo métrico que supone la última sección del Capítulo 10.
Alinear cromatogramas: cuándo alcanza con normalizar
N corridas de cromatografía de la misma muestra, con tres compuestos, cada una con su deriva del tiempo de retención. La página avanza por pasos: qué mide un cromatógrafo, las corridas, el promedio punto a punto —que ensancha los picos y los funde— y después el método que se usa de verdad, normalizar cada corrida y promediar, que bajo el modelo afín es exacto y deja al baricentro sin nada que agregar. Recién cuando cada compuesto deriva por su cuenta la normalización se rompe, y ahí entra el baricentro, que recupera el pico que la otra parte en dos. Termina explicándolo en coordenadas de cuantiles, donde el baricentro es literalmente el promedio de las corridas (Proposición 12.6.1).
Promediar pronósticos de lluvia
Un centro meteorológico corre su modelo varias veces y obtiene N campos de lluvia con la tormenta en lugares algo distintos. El promedio punto a punto la desparrama y le saca casi la mitad del pico —el double penalty de esa comunidad— y el baricentro devuelve una tormenta con la intensidad de las corridas en la posición promedio. Por pasos, con el cálculo hecho con el Sinkhorn convolucional del Capítulo 13 y un paso final donde las corridas dejan de ser traslaciones unas de otras.
Brunn–Minkowski en el plano
La suma de Minkowski de dos rectángulos, uno rotado respecto del otro, con la curva |(1−t)A+tB|1/2 dibujándose al lado de la cota (1−t)|A|1/2+t|B|1/2. Se puede animar o mover t a mano, y cambiar el ángulo: a 0°, o con B homotético de A, la curva se apoya sobre la recta, que es el caso de igualdad.
Cómo usar el material
Para estudiar por cuenta propia, el orden natural es el de los capítulos: leer el capítulo, hacer la guía, y en los capítulos que lo tienen, trabajar el cuaderno. Las guías son exactamente las secciones de ejercicios de las notas, con la misma numeración, generadas desde el mismo archivo fuente; las referencias a teoremas y proposiciones remiten a las notas. El archivo de sugerencias reúne, para los ejercicios de todos los capítulos, una idea o el resultado que conviene usar, sin resolverlos.
Correcciones y sugerencias: abrir un issue o un pull request en el repositorio, o escribir a jfbonder@dm.uba.ar.